第10章 一元函数积分学的应用(一) -- 几何应用

基础部分

1. 曲线 $y=\frac{1}{x^2+4x+5}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上与 $x$ 轴所围成的图形的面积为
2. 曲线 $y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 在 $[1,e^2]$ 上与 $x$ 轴所围成的图形的面积是
3. 抛物线 $y=(\sqrt{2}-1)x^2$ 把曲线 $y=x(b-x)(b>0)$ 与 $x$ 轴所围成的闭区域分成面积为 $S_A$ 与 $S_B$ 的两部分，则 A. $S_A<S_B$ B. $S_A=S_B$ C. $S_A>S_B$ D. $S_A$ 与 $S_B$ 的大小关系与 $b$ 的数值有关
4. 过点 $(p,\sin p)$ 作曲线 $y=\sin x$ 的切线，设该曲线与切线及 $y$ 轴所围成的图形的面积为 $S_1$，曲线与直线 $x=p$ 及 $x$ 轴所围成的图形的面积为 $S_2$，则 A. $\lim _{p \to 0^+} \frac{S_2}{S_1+S_2}=\frac{1}{3}$ B. $\lim _{p \to 0^+} \frac{S_2}{S_1+S_2}=\frac{1}{2}$ C. $\lim _{p \to 0^+} \frac{S_2}{S_1+S_2}=\frac{2}{3}$ D. $\lim _{p \to 0^+} \frac{S_2}{S_1+S_2}=1$
5. 平面无界区域 $D=\{(x,y)|(1+x^2)|y|\leq 1\}$ 的面积为
6. 设平面区域 $D$ 由曲线段 $y=\sin \pi x(0\leq x\leq 1)$ 与 $x$ 轴围成，则 $D$ 绕 $y$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为
7. 已知函数 $f(x)=x \int_{1}^{x} \frac{e^{t^2}}{t} d t$，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上的平均值为
8. 已知曲线 $L:y=e^{-x}(x\geq 0)$，设 $P$ 是 $L$ 上的动点，$V$ 是 $L$ 上从点 $A(0,1)$ 到点 $P$ 的一段弧绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转体体积，当 $P$ 运动到点 $(1,\frac{1}{e})$ 时，沿 $x$ 轴正向的速度为1，求此时 $V$ 关于时间 $t$ 的变化率。
9. 曲线 $y=\ln \sin x(\frac{\pi}{6}\leq x\leq\frac{\pi}{3})$ 的弧长为
10. 曲线 $r=e^\theta$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=1$ 的弧长为
11. 已知函数 $y=y(x)$ 由方程 $y^4-6xy+3=0(1\leq y\leq 2)$ 所确定，则曲线 $y=y(x)$ 从点 $(\frac{2}{3},1)$ 到点 $(\frac{19}{12},2)$ 的长度为
12. 曲线 $y=e^x$ 与其过原点的切线及 $y$ 轴所围图形的面积为 A. $\int_{0}^{1}(\ln y-y \ln y) d x$ B. $\int_{0}^{1}\left(e^x-e x\right) d x$ C. $\int_{1}^{e}(\ln y-y \ln y) d x$ D. $\int_{1}^{e}\left(e^x-x e^x\right) d x$
13. 曲线 $y=x^2 e^{-x}(0\leq x<+\infty)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积为
14. 曲线 $f(x)=x \ln x(0<x\leq 2)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为
15. 曲线 $y=\frac{1}{2}x^2(0\leq x\leq 1)$ 的长度为
16. 设平面 $D$ 是由 $y=\ln x$，$x=1$，$y=1$ 围成的第一象限的有界区域，记 $D$ 绕 $x$ 轴与绕 $y=1$ 旋转一周所得旋转体的体积分别为 $V_1$，$V_2$，则 A. $V_1>\frac{\pi}{2}>V_2$ B. $V_2>\frac{\pi}{2}>V_1$ C. $\frac{\pi}{2}>V_1>V_2$ D. $\frac{\pi}{2}>V_2>V_1$
17. 曲线 $y=x^2$ 从点 $(1,1)$ 到点 $(2,4)$ 的一段弧绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积为
18. 函数 $y=\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为
19. 设平面区域 $D=\{(x,y) | 0\leq y\leq\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^2},\sqrt{2}\leq x\leq 2\}$ 求： (1) $D$ 的面积； (2) $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积。

强化部分

1. 曲线 $e^y+xy+x^3=e$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
2. 曲线 $r=2\cos 3\theta(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{6})$ 与 $\theta=0$ 及 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 所围图形面积为
3. 若曲线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 所围图形的面积为 $6\pi$，则 $a=$
4. 设函数 $y=y(x)$ 满足方程 $y''+3y'+2y=e^{-x}$，且 $\lim _{x \to 0} \frac{y(x)}{x}=1$，求曲线 $y=y(x)$ 与 $x$ 轴正半轴之间所围平面图形的面积及该平面图形绕 $y$ 轴旋转一周所形成的旋转体体积。
5. 曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $y=x^2$ 所围平面有界区域绕直线 $y=x$ 旋转一周所得旋转体的体积为
6. 过坐标原点作曲线 $y=e^x$ 的切线，该切线与曲线 $y=e^x$ 以及 $x$ 轴围成的向 $x$ 轴负向无限伸展的图形记为 $D$ (1)求 $D$ 的面积； (2)求 $D$ 绕直线 $x=1$ 旋转一周所成的旋转体体积。
7. 求曲线 $y=e^{-\frac{x}{2}} \sqrt{\sin x}(x\geq 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积。
8. 设曲线 $y=ax^2(x\geq 0$，常数 $a>0)$ 与曲线 $y=1-x^2$ 交于点 $A$，过坐标原点 $o$ 和点 $A$ 的直线与曲线 $y=ax^2$ 围成一平面图形 $D$ (1) 求 $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体体积 $V(a)$； (2)求使 $V(a)$ 为最大值时 $a$ 的值。
9. 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $x f'(x)=f(x)+x^2$。已知曲线 $y=f(x)$ 与 $x=0$，$x=1$，$y=0$ 所围的图形 $S$ 面积为2。求 $f(x)$ 的表达式，以及图形 $S$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
10. 当 $x\geq 0$ 时，在曲线 $y=e^{-2x}$ 上面作一个台阶曲线，台阶的宽度皆为1，则图中无穷多个阴影部分的面积之和 $S=$
11. 设函数 $y=f(x)$ 满足微分方程 $y'+y=\frac{e^{-x} \cos x}{2 \sqrt{\sin x}}$，且 $f(\pi)=0$，求曲线 $y=f(x)(x\geq 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
12. 设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内非负连续，且 $\int_{0}^{x} t f(x^2) f(x^2-t^2) d t=\sin^2 x^2$，求 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上的平均值。
13. 已知 $\frac{1}{1+e^{\frac{1}{x}}}$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数，则 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的平均值为
14. 已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内是函数 $\frac{\sin \pi x}{x}$ 的一个原函数，且 $f(1)=0$，则 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的平均值为
15. 设函数 $f(x)$ 非负连续，且 $f(x) \int_{0}^{1} f(x t) d t=2x^2$，则 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为
16. 设 $f(x)$ 为 $[0,3]$ 上的非负连续函数，且满足 $f(x) \int_{1}^{2} f(x t-x) d t=2x^2$，$x\in[0,3]$，则 $f(x)$ 在区间 $[1,3]$ 上的平均值为
17. 已知函数 $f(x)$ 在 $[0,\frac{3\pi}{2}]$ 上连续，在 $(0,\frac{3\pi}{2})$ 内是函数 $\frac{\cos x}{2x-3\pi}$ 的一个原函数，且 $f(0)=0$，则 $f(x)$ 在区间 $[0,\frac{3\pi}{2}]$ 上的平均值为
18. 设 $f(x)=\int_{-1}^{x} t|t| d t$，求曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的封闭图形的面积。
19. 已知函数 $f(x)$，$g(x)$ 分别满足 $f'(x)=2 \sqrt{f(x)}$，$g'(x)=\frac{g(x)}{x-2}+\frac{x-2}{x}$，$f(0)=1$，$g(1)=0$，求曲线 $f(x)+g(y)=0$ 所围图形绕直线 $x=-1$ 旋转一周所成旋转体体积。
20. 在曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 上的横坐标为 $a(0<a<1)$ 处作曲线的切线，将切线与 $x$ 轴、$y$ 轴所围成的图形绕 $y$ 轴旋转一周，使得旋转体的体积最大，求 $a$ 的值。
21. 设函数 $x=x(y)$ 满足 $y=\int \frac{4 y^3}{4-y^6} d x$，$L$ 为曲线 $x=x(y)(-2\leq y\leq-1)$，且 $x(-1)=-\frac{9}{16}$，记 $L$ 的长度为 $S$。求： (1)$S$； (2)$x$ 的最大值。
22. 设连续函数 $y=y(x)$ 满足 $y'+\frac{t^2}{y} x^3=\frac{y}{x}$，$y(1)=\sqrt{9-t^2}$，其中 $0\leq t\leq 3$，$x>0$ (1) 利用换元 $z=y^2$ 求 $y=y(x)$ 的表达式； (2)令 $f(x)=\frac{1}{9} \int_{0}^{3} y(x) d t$，求曲线 $y=f(x)$ 的全长。
23. 设非负函数 $y(x)$ 是微分方程 $2y y'=\cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解，求曲线 $f_n(x)=n \int_{0}^{\frac{x}{n}} y(t) d t(0\leq x\leq n\pi)$ 的弧长。
24. 设函数 $y=f(x)$ 在区间 $[0,a]$ 上非负，$f''(x)>0$，且 $f(0)=0$，有一块质量均匀分布的平板 $D$，其占据的区域是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $x=a$ 以及 $x$ 轴围成的平面图形。用 $\bar{x}$ 表示平板 $D$ 的质心的横坐标，证明 $\bar{x}>\frac{2}{3}a$
25. 求摆线的一拱 $\begin{cases}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{cases}(0\leq t\leq 2\pi,a>0)$ 与 $x$ 轴围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转体的体积与表面积。
26. 已知摆线的参数方程为 $\begin{cases}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{cases}$，其中 $0\leq t\leq 2\pi$，常数 $a>0$，设该摆线一拱的弧长的数值等于该弧段绕 $x$ 轴旋转一周所形成的旋转曲面面积的数值。求 $a$ 的值。