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基础部分
设函数 f ( x ) f(x) f ( x ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 f ( x ) d x = \int_{0}^{1} f(x) d x= ∫ 0 1 f ( x ) d x = lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( 3 k − 1 3 n ) 1 3 n \lim _{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{3 k-1}{3 n}\right) \frac{1}{3 n} lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( 3 n 3 k − 1 ) 3 n 1 lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( 3 k − 1 3 n ) 1 n \lim _{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{3 k-1}{3 n}\right) \frac{1}{n} lim n → ∞ ∑ k = 1 n f ( 3 n 3 k − 1 ) n 1 lim n → ∞ ∑ k = 1 3 n f ( k − 1 3 n ) 1 n \lim _{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3 n} f\left(\frac{k-1}{3 n}\right) \frac{1}{n} lim n → ∞ ∑ k = 1 3 n f ( 3 n k − 1 ) n 1 lim n → ∞ ∑ k = 1 3 n f ( k 3 n ) 3 n \lim _{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3 n} f\left(\frac{k}{3 n}\right) \frac{3}{n} lim n → ∞ ∑ k = 1 3 n f ( 3 n k ) n 3
lim n → ∞ 1 n 3 [ ln 1 n + 4 ln 2 n + ⋯ + ( n − 1 ) 2 ln n − 1 n ] = \lim _{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}\left[\ln \frac{1}{n}+4 \ln \frac{2}{n}+\cdots+(n-1)^{2} \ln \frac{n-1}{n}\right]= lim n → ∞ n 3 1 [ ln n 1 + 4 ln n 2 + ⋯ + ( n − 1 ) 2 ln n n − 1 ] = 甲、乙两人赛跑，图中实线和虚线分别为甲和乙的速度曲线（单位：m / s \mathrm{m/s} m/s t = 0 t=0 t = 0 10 m 10\mathrm{m} 10 m [ 0 , t 3 ] [0,t_3] [ 0 , t 3 ]
设M = ∫ − 1 1 ( 2 x − 1 2 x ) 1 + x 1 + x 2 d x M=\int_{-1}^{1}\left(2^x - \frac{1}{2^x}\right)\frac{1+x}{1+x^2}dx M = ∫ − 1 1 ( 2 x − 2 x 1 ) 1 + x 2 1 + x d x N = ∫ − 1 1 ( 2 x − 2 − x ) x 2 d x N=\int_{-1}^{1}(2^x - 2^{-x})x^2dx N = ∫ − 1 1 ( 2 x − 2 − x ) x 2 d x K = ∫ 0 1 e x 1 + x d x K=\int_{0}^{1}\frac{e^x}{1+x}dx K = ∫ 0 1 1 + x e x d x M > N > K M>N>K M > N > K N > K > M N>K>M N > K > M K > M > N K>M>N K > M > N K > N > M K>N>M K > N > M
设 f ( x ) f(x) f ( x ) ( 0 , + ∞ ) (0,+\infty) ( 0 , + ∞ ) f ′ ( x ) < 0 f'(x)<0 f ′ ( x ) < 0 g ( x ) = ∫ 1 x f ( t ) d t g(x)=\int_{1}^{x} f(t) d t g ( x ) = ∫ 1 x f ( t ) d t g ( 1 2 ) g(\frac{1}{2}) g ( 2 1 ) g ( 3 2 ) g(\frac{3}{2}) g ( 2 3 )
设 f ( x ) = { x ln x , x > 0 x 2 + x , x ≤ 0 f(x)=\begin{cases}x \ln x, & x>0 \\ x^{2}+x, & x \leq 0\end{cases} f ( x ) = { x ln x , x 2 + x , x > 0 x ≤ 0 ∫ a b f ( x ) d x ( a < b ) \int_{a}^{b} f(x) d x(a<b) ∫ a b f ( x ) d x ( a < b ) ( a , b ) = (a,b)= ( a , b ) = ( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) ( − 1 , 2 ) (-1,2) ( − 1 , 2 ) ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 )
设函数 g ( x ) g(x) g ( x ) [ 0 , π 2 ] [0,\frac{\pi}{2}] [ 0 , 2 π ] ( 0 , π 2 ) (0,\frac{\pi}{2}) ( 0 , 2 π ) g ′ ( x ) ≥ 0 g'(x)\geq0 g ′ ( x ) ≥ 0 x ∈ ( 0 , π 2 ) x\in(0,\frac{\pi}{2}) x ∈ ( 0 , 2 π ) ∫ x π 2 g ( t ) d t ≥ ∫ x π 2 g ( sin t ) d t \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(t) d t \geq \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(\sin t) d t ∫ x 2 π g ( t ) d t ≥ ∫ x 2 π g ( sin t ) d t ∫ x 1 g ( t ) d t ≤ ∫ x 1 g ( sin t ) d t \int_{x}^{1} g(t) d t \leq \int_{x}^{1} g(\sin t) d t ∫ x 1 g ( t ) d t ≤ ∫ x 1 g ( sin t ) d t ∫ x 1 g ( t ) d t ≥ ∫ x 1 g ( sin t ) d t \int_{x}^{1} g(t) d t \geq \int_{x}^{1} g(\sin t) d t ∫ x 1 g ( t ) d t ≥ ∫ x 1 g ( sin t ) d t ∫ x π 2 g ( t ) d t ≤ ∫ x π 2 g ( sin t ) d t \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(t) d t \leq \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} g(\sin t) d t ∫ x 2 π g ( t ) d t ≤ ∫ x 2 π g ( sin t ) d t
若 1 − x 2 \sqrt{1-x^2} 1 − x 2 x f ( x ) x f(x) x f ( x ) ∫ 0 1 1 f ( x ) d x = \int_{0}^{1}\frac{1}{f(x)}dx= ∫ 0 1 f ( x ) 1 d x = π 4 \frac{\pi}{4} 4 π − π 4 -\frac{\pi}{4} − 4 π
lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 i n = \lim _{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{i n}}= lim n → ∞ ∑ i = 1 n in 1 = 设 f ( x ) f(x) f ( x ) ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) ( − ∞ , + ∞ ) x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x\in(-\infty,+\infty) x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) f ( x + 1 ) − f ( x ) = f ( 1 ) f(x+1)-f(x)=f(1) f ( x + 1 ) − f ( x ) = f ( 1 ) f ( 1 2 ) = 0 f(\frac{1}{2})=0 f ( 2 1 ) = 0 ∫ 0 x [ sin f ( t ) + f ( t + 1 ) ] d t \int_{0}^{x}[\sin f(t)+f(t+1)] d t ∫ 0 x [ sin f ( t ) + f ( t + 1 )] d t ∫ 0 x [ sin f ′ ( t ) + f ′ ( t + 1 ) ] d t \int_{0}^{x}[\sin f'(t)+f'(t+1)] d t ∫ 0 x [ sin f ′ ( t ) + f ′ ( t + 1 )] d t ∫ 0 x [ cos f ( t ) + f ( t + 2 ) ] d t \int_{0}^{x}[\cos f(t)+f(t+2)] d t ∫ 0 x [ cos f ( t ) + f ( t + 2 )] d t ∫ 0 x [ cos f ′ ( t ) + f ′ ( t + 2 ) ] d t \int_{0}^{x}[\cos f'(t)+f'(t+2)] d t ∫ 0 x [ cos f ′ ( t ) + f ′ ( t + 2 )] d t
设 f ( x ) f(x) f ( x ) ( − ∞ , 0 ) (-\infty,0) ( − ∞ , 0 ) x 0 = − 1 x_0=-1 x 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) = 1 f'(x_0)=1 f ′ ( x 0 ) = 1 F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t F(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t F ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t ( − ∞ , − 1 ) (-\infty,-1) ( − ∞ , − 1 ) ( − 1 , + ∞ ) (-1,+\infty) ( − 1 , + ∞ ) ( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) ( 1 , + ∞ ) (1,+\infty) ( 1 , + ∞ )
设 f ( x ) f(x) f ( x ) [ 0 , 2 ] [0,2] [ 0 , 2 ] f ( 0 ) = 1 f(0)=1 f ( 0 ) = 1 f ( 2 ) = 2 f(2)=2 f ( 2 ) = 2 x 1 , x 2 ∈ [ 0 , 2 ] x_1,x_2\in[0,2] x 1 , x 2 ∈ [ 0 , 2 ] f ( x 1 + x 2 2 ) > f ( x 1 ) + f ( x 2 ) 2 f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} f ( 2 x 1 + x 2 ) > 2 f ( x 1 ) + f ( x 2 ) g ( x ) g(x) g ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) P = ∫ 1 2 g ( x ) d x P=\int_{1}^{2} g(x) d x P = ∫ 1 2 g ( x ) d x 3 < P < 4 3<P<4 3 < P < 4 2 < P < 3 2<P<3 2 < P < 3 1 < P < 2 1<P<2 1 < P < 2 0 < P < 1 0<P<1 0 < P < 1
下列反常积分中，发散的是
A. ∫ 0 + ∞ x e − x d x \int_{0}^{+\infty} x e^{-x} d x ∫ 0 + ∞ x e − x d x ∫ − ∞ + ∞ x e − x 2 d x \int_{-\infty}^{+\infty} x e^{-x^2} d x ∫ − ∞ + ∞ x e − x 2 d x ∫ − ∞ + ∞ arctan x 1 + x 2 d x \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\arctan x}{1+x^2} d x ∫ − ∞ + ∞ 1 + x 2 a r c t a n x d x ∫ − ∞ + ∞ x 1 + x 2 d x \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} d x ∫ − ∞ + ∞ 1 + x 2 x d x
若反常积分 ∫ 0 + ∞ ln x ( 1 + x ) x 1 − p d x \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x) x^{1-p}} d x ∫ 0 + ∞ ( 1 + x ) x 1 − p l n x d x p < 1 p<1 p < 1 p > 1 p>1 p > 1 0 ≤ p < 1 0\leq p<1 0 ≤ p < 1 0 < p ≤ 1 0< p\leq1 0 < p ≤ 1
下列反常积分收敛的是
A. ∫ 2 + ∞ 1 x ln x d x \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln x} d x ∫ 2 + ∞ x l n x 1 d x ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x \int_{0}^{+\infty} e^{-x^2} d x ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x ∫ − 1 1 1 sin x d x \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} d x ∫ − 1 1 s i n x 1 d x ∫ 0 1 x ln 2 ( 1 + x ) d x \int_{0}^{1} \frac{x}{\ln^2(1+x)} d x ∫ 0 1 l n 2 ( 1 + x ) x d x
lim n → ∞ 1 n 2 [ n 2 − 1 + n 2 − 2 2 + ⋯ + n 2 − ( n − 1 ) 2 ] = \lim _{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}}\left[\sqrt{n^{2}-1}+\sqrt{n^{2}-2^{2}}+\cdots+\sqrt{n^{2}-(n-1)^{2}}\right]= lim n → ∞ n 2 1 [ n 2 − 1 + n 2 − 2 2 + ⋯ + n 2 − ( n − 1 ) 2 ] = lim n → ∞ ∑ i = 1 n n n 2 + 9 i 2 = \lim _{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+9 i^{2}}= lim n → ∞ ∑ i = 1 n n 2 + 9 i 2 n = 定积分 I = ∫ π 4 π 2 sin x x d x I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} d x I = ∫ 4 π 2 π x s i n x d x 0 ≤ I ≤ 1 2 0\leq I\leq\frac{1}{2} 0 ≤ I ≤ 2 1 1 2 ≤ I ≤ 2 2 \frac{1}{2}\leq I\leq\frac{\sqrt{2}}{2} 2 1 ≤ I ≤ 2 2 2 2 ≤ I ≤ 1 \frac{\sqrt{2}}{2}\leq I\leq1 2 2 ≤ I ≤ 1 1 ≤ I ≤ 2 2 1\leq I\leq2\sqrt{2} 1 ≤ I ≤ 2 2
设 f ( x ) ≢ 0 f(x)\not\equiv 0 f ( x ) ≡ 0 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) ( − ∞ , + ∞ ) x 3 ∫ 0 x f ′ ( t ) d t x^3\int_{0}^{x} f'(t) d t x 3 ∫ 0 x f ′ ( t ) d t ∫ 0 x f ( − t ) d t \int_{0}^{x} f(-t) d t ∫ 0 x f ( − t ) d t ∫ 0 x [ f ′ ( t ) + f ( t ) ] d t \int_{0}^{x}[f'(t)+f(t)] d t ∫ 0 x [ f ′ ( t ) + f ( t )] d t ∫ 0 x ∣ f ( t ) ∣ d t \int_{0}^{x}|f(t)| d t ∫ 0 x ∣ f ( t ) ∣ d t
设M = ∫ − π 2 π 2 x 1 + x 2 cos 5 x d x M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{1+x^2}\cos^5 xdx M = ∫ − 2 π 2 π 1 + x 2 x cos 5 x d x N = ∫ − π 2 π 2 ( x 2 sin x + sin 2 x cos x ) d x N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin x+\sin^2 x\cos x)dx N = ∫ − 2 π 2 π ( x 2 sin x + sin 2 x cos x ) d x P = ∫ − π 2 π 2 ( sin 3 x − cos 4 x ) d x P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin^3 x-\cos^4 x)dx P = ∫ − 2 π 2 π ( sin 3 x − cos 4 x ) d x N < P < M N<P<M N < P < M M < P < N M<P<N M < P < N N ≤ M < P N\leq M<P N ≤ M < P P < M < N P<M<N P < M < N
设常数 a , b a,b a , b ∫ 0 1 ln x x a ( tan π 2 x ) b d x \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^{a}(\tan \frac{\pi}{2} x)^{b}} d x ∫ 0 1 x a ( t a n 2 π x ) b l n x d x a + b > 1 a+b>1 a + b > 1 b > − 2 b>-2 b > − 2 a + b < 1 a+b<1 a + b < 1 b > − 2 b>-2 b > − 2 a + b > 1 a+b>1 a + b > 1 b < − 2 b<-2 b < − 2 a + b < 1 a+b<1 a + b < 1 b < − 2 b<-2 b < − 2
设 F ( x ) = ∫ 0 x ( t − [ t ] ) d t F(x)=\int_{0}^{x}(t-[t]) d t F ( x ) = ∫ 0 x ( t − [ t ]) d t [ x ] [x] [ x ] x x x F − ′ ( 1 ) − F + ′ ( 1 ) = F_{-}'(1)-F_{+}'(1)= F − ′ ( 1 ) − F + ′ ( 1 ) =
下列命题中不成立的是
A. 若 f ( x ) f(x) f ( x ) x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x ∈ [ a , b ] ∫ a x f ( t ) d t \int_{a}^{x} f(t) d t ∫ a x f ( t ) d t f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) x ∈ [ a , b ] x\in[a,b] x ∈ [ a , b ] f ( x ) f(x) f ( x ) ( a , b ) (a,b) ( a , b ) f ( x ) f(x) f ( x ) x ∈ [ − a , a ] x\in[-a,a] x ∈ [ − a , a ] ∫ − a a f ( x ) d x = 0 \int_{-a}^{a} f(x) d x=0 ∫ − a a f ( x ) d x = 0 f ( x ) f(x) f ( x ) T T T ∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( x ) d x \int_{a}^{a+T} f(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) d x ∫ a a + T f ( x ) d x = ∫ 0 T f ( x ) d x
设 f ( x − 5 ) = 4 x 2 − 10 x f(x-5)=\frac{4}{x^2-10x} f ( x − 5 ) = x 2 − 10 x 4 ∫ 0 4 f ( 2 x + 1 ) d x \int_{0}^{4} f(2x+1)dx ∫ 0 4 f ( 2 x + 1 ) d x π 4 \frac{\pi}{4} 4 π
下列表达式中正确的是
A. ∫ π 2 π ∣ sin x ∣ d x ≤ ∫ π 2 π sin 2 x d x \int_{\pi}^{2\pi}|\sin x| d x \leq \int_{\pi}^{2\pi} \sin^2 x d x ∫ π 2 π ∣ sin x ∣ d x ≤ ∫ π 2 π sin 2 x d x ∫ − π 4 π 4 x 1 + cos x d x < ∫ − π 4 π 4 ( sin x 1 + x 4 + 1 1 + x 2 ) d x \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} d x<\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\left(\frac{\sin x}{1+x^4}+\frac{1}{1+x^2}\right) d x ∫ − 4 π 4 π 1 + c o s x x d x < ∫ − 4 π 4 π ( 1 + x 4 s i n x + 1 + x 2 1 ) d x ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ c d f ( x ) d x , [ a , b ] ⊂ [ c , d ] , f ( x ) \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{c}^{d} f(x) d x,[a,b]\subset[c,d],f(x) ∫ a b f ( x ) d x ≤ ∫ c d f ( x ) d x , [ a , b ] ⊂ [ c , d ] , f ( x ) x ∈ [ c , d ] x\in[c,d] x ∈ [ c , d ] ∫ − 1 1 ∣ f ( x ) ∣ d x = 2 ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ d x , f ( x ) \int_{-1}^{1}|f(x)| d x=2\int_{0}^{1}|f(x)| d x,f(x) ∫ − 1 1 ∣ f ( x ) ∣ d x = 2 ∫ 0 1 ∣ f ( x ) ∣ d x , f ( x ) x ∈ [ − 1 , 1 ] x\in[-1,1] x ∈ [ − 1 , 1 ]
强化部分
计算 lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 − cos π n 1 + cos i π 2 n \lim _{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1-\cos \frac{\pi}{\sqrt{n}}}{1+\cos \frac{i \pi}{2 n}} lim n → ∞ ∑ i = 1 n 1 + c o s 2 n iπ 1 − c o s n π
设 f ( x ) f(x) f ( x ) lim n → ∞ ∑ k = 1 n k − 1 2 + n n 2 f ( 2 k − 1 2 n ) = \lim _{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k-\frac{1}{2}+n}{n^{2}} f(\frac{2 k-1}{2 n})= lim n → ∞ ∑ k = 1 n n 2 k − 2 1 + n f ( 2 n 2 k − 1 ) = ∫ 0 1 ( x + 1 2 ) f ( x ) d x \int_{0}^{1}\left(x+\frac{1}{2}\right) f(x) d x ∫ 0 1 ( x + 2 1 ) f ( x ) d x ∫ 0 1 ( x + 1 − 1 2 n ) f ( x − 1 2 n ) d x \int_{0}^{1}\left(x+1-\frac{1}{2 n}\right) f\left(x-\frac{1}{2 n}\right) d x ∫ 0 1 ( x + 1 − 2 n 1 ) f ( x − 2 n 1 ) d x ∫ 0 1 ( x + 1 ) f ( x ) d x \int_{0}^{1}(x+1) f(x) d x ∫ 0 1 ( x + 1 ) f ( x ) d x ∫ 0 1 ( x + 1 2 + 1 n ) f ( x − 1 n ) d x \int_{0}^{1}\left(x+\frac{1}{2}+\frac{1}{n}\right) f\left(x-\frac{1}{n}\right) d x ∫ 0 1 ( x + 2 1 + n 1 ) f ( x − n 1 ) d x
设 f ( x ) f(x) f ( x ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] lim n → ∞ ∑ i = 0 n − 1 ln [ 1 + 1 n f ( i n ) ] = \lim _{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \ln [1+\frac{1}{n} f(\frac{i}{n})]= lim n → ∞ ∑ i = 0 n − 1 ln [ 1 + n 1 f ( n i )] = ∫ 0 1 ln [ 1 + f ( x ) n ] d x \int_{0}^{1} \ln \left[1+\frac{f(x)}{n}\right] d x ∫ 0 1 ln [ 1 + n f ( x ) ] d x ∫ 0 1 ln [ 1 + f ( x ) ] d x \int_{0}^{1} \ln [1+f(x)] d x ∫ 0 1 ln [ 1 + f ( x )] d x ∫ 0 1 f ( x ) d x \int_{0}^{1} f(x) d x ∫ 0 1 f ( x ) d x ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x \int_{0}^{1} f^2(x) d x ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x
I 1 = ∫ 0 2 π sin x x d x I_1=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x}dx I 1 = ∫ 0 2 π x s i n x d x I 2 = ∫ 0 2 π sin x 2 π − x d x I_2=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{2\pi-x}dx I 2 = ∫ 0 2 π 2 π − x s i n x d x I 3 = ∫ 0 2 π sin x x ( 2 π − x ) d x I_3=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin x}{x(2\pi-x)}dx I 3 = ∫ 0 2 π x ( 2 π − x ) s i n x d x I 3 < I 1 < I 2 I_3<I_1<I_2 I 3 < I 1 < I 2 I 3 < I 2 < I 1 I_3<I_2<I_1 I 3 < I 2 < I 1 I 2 < I 3 < I 1 I_2<I_3<I_1 I 2 < I 3 < I 1 I 1 < I 2 < I 3 I_1<I_2<I_3 I 1 < I 2 < I 3 设 I 1 = ∫ 0 2 π sin x 2 d x I_1=\int_{0}^{\sqrt{2\pi}} \sin x^2 d x I 1 = ∫ 0 2 π sin x 2 d x I 2 = ∫ − π 4 π 4 1 1 + sin x d x I_2=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1+\sin x} d x I 2 = ∫ − 4 π 4 π 1 + s i n x 1 d x I 1 > 0 , I 2 > 0 I_1>0,I_2>0 I 1 > 0 , I 2 > 0 I 1 < 0 , I 2 < 0 I_1<0,I_2<0 I 1 < 0 , I 2 < 0 I 1 > 0 , I 2 < 0 I_1>0,I_2<0 I 1 > 0 , I 2 < 0 I 1 < 0 , I 2 > 0 I_1<0,I_2>0 I 1 < 0 , I 2 > 0
设 f ( x ) f(x) f ( x ) [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 2 x 2 f ( x ) d x ≥ ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x + 1 5 \int_{0}^{1} 2 x^2 f(x) d x \geq \int_{0}^{1} f^2(x) d x+\frac{1}{5} ∫ 0 1 2 x 2 f ( x ) d x ≥ ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x + 5 1 f ( x ) = f(x)= f ( x ) =
设 f ( x ) = ∫ 0 ∣ sin x ∣ e t 2 d t f(x)=\int_{0}^{|\sin x|} e^{t^2} d t f ( x ) = ∫ 0 ∣ s i n x ∣ e t 2 d t g ( x ) = ∫ 0 ∣ x ∣ sin t 2 d t g(x)=\int_{0}^{|x|} \sin t^2 d t g ( x ) = ∫ 0 ∣ x ∣ sin t 2 d t ( − π , π ) (-\pi,\pi) ( − π , π ) f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 ) g ( x ) g(x) g ( x ) g ′ ( 0 ) g'(0) g ′ ( 0 )
设 f ( x ) = 3 x − 1 − x 2 ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x f(x)=3 x-\sqrt{1-x^2} \int_{0}^{1} f^2(x) d x f ( x ) = 3 x − 1 − x 2 ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x f ( x ) f(x) f ( x )
设常数 m > 0 , n > 0 m>0,n>0 m > 0 , n > 0 ∫ 0 n x [ m x ] d x \int_{0}^{n} \sqrt{x}[\frac{m}{x}] d x ∫ 0 n x [ x m ] d x m m m n n n m , n m,n m , n m , n m,n m , n
设 p , q p,q p , q ∫ 0 1 1 x p ∣ ln x ∣ q d x \int_{0}^{1} \frac{1}{x^p|\ln x|^q} d x ∫ 0 1 x p ∣ l n x ∣ q 1 d x p < 1 , q < 1 p<1,q<1 p < 1 , q < 1 p > 1 , q < 1 p>1,q<1 p > 1 , q < 1 p < 1 , q > 1 p<1,q>1 p < 1 , q > 1 p > 1 , q > 1 p>1,q>1 p > 1 , q > 1
若函数 f ( x ) = ∫ 2 + ∞ 1 t ( ln t ) x + 1 d t f(x)=\int_{2}^{+\infty} \frac{1}{t(\ln t)^{x+1}} d t f ( x ) = ∫ 2 + ∞ t ( l n t ) x + 1 1 d t x 0 = x_0= x 0 = − 1 ln ln 2 -\frac{1}{\ln \ln 2} − l n l n 2 1 − ln ln 2 -\ln \ln 2 − ln ln 2 1 ln 2 \frac{1}{\ln 2} l n 2 1 ln 2 \ln 2 ln 2
设 p p p ∫ 0 1 ln x x p ( 1 − x ) 1 − p d x \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x^p(1-x)^{1-p}} d x ∫ 0 1 x p ( 1 − x ) 1 − p l n x d x p p p ( − 1 , 1 ) (-1,1) ( − 1 , 1 ) ( − 1 , 2 ) (-1,2) ( − 1 , 2 ) ( − ∞ , 1 ) (-\infty,1) ( − ∞ , 1 ) ( − ∞ , 2 ) (-\infty,2) ( − ∞ , 2 )
设非负函数 f ( x ) f(x) f ( x ) [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [ 0 , + ∞ ) ∫ 0 + ∞ f 2 ( x ) d x \int_{0}^{+\infty} f^2(x) d x ∫ 0 + ∞ f 2 ( x ) d x ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{0}^{+\infty} f(x) d x ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{0}^{+\infty} f(x) d x ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x ∫ 0 + ∞ f 2 ( x ) d x \int_{0}^{+\infty} f^2(x) d x ∫ 0 + ∞ f 2 ( x ) d x lim x → + ∞ x 2 f ( x ) \lim _{x \to +\infty} x^2 f(x) lim x → + ∞ x 2 f ( x ) ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{0}^{+\infty} f(x) d x ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x \int_{0}^{+\infty} f(x) d x ∫ 0 + ∞ f ( x ) d x lim x → + ∞ x 2 f ( x ) \lim _{x \to +\infty} x^2 f(x) lim x → + ∞ x 2 f ( x )
若反常积分 ∫ 1 + ∞ ( e − cos 1 x − e − 1 ) x k d x \int_{1}^{+\infty}(e^{-\cos \frac{1}{x}}-e^{-1}) x^k d x ∫ 1 + ∞ ( e − c o s x 1 − e − 1 ) x k d x k k k
下列反常积分中发散的是
A. ∫ 0 + ∞ e − x x d x \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{x}} d x ∫ 0 + ∞ x e − x d x ∫ 0 + ∞ x 2 e − x 2 d x \int_{0}^{+\infty} x^2 e^{-x^2} d x ∫ 0 + ∞ x 2 e − x 2 d x ∫ 0 + ∞ d x x ln 2 x \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{x \ln^2 x} ∫ 0 + ∞ x l n 2 x d x ∫ 0 + ∞ d x ( x + 2 ) ln 2 ( x + 2 ) \int_{0}^{+\infty} \frac{d x}{(x+2) \ln^2(x+2)} ∫ 0 + ∞ ( x + 2 ) l n 2 ( x + 2 ) d x
下列反常积分中收敛的是
A. ∫ 1 + ∞ d x x 2 − 1 \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x^2-1}} ∫ 1 + ∞ x 2 − 1 d x ∫ 1 + ∞ d x x ( x − 1 ) \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{\sqrt{x(x-1)}} ∫ 1 + ∞ x ( x − 1 ) d x ∫ 1 + ∞ d x x 2 x 2 − 1 \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^2 \sqrt{x^2-1}} ∫ 1 + ∞ x 2 x 2 − 1 d x ∫ 1 + ∞ d x x ( x 2 − 1 ) \int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x(x^2-1)} ∫ 1 + ∞ x ( x 2 − 1 ) d x
设 y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) [ ( 1 + x ) y − 1 ] d x + x ( 1 + x ) d y = 0 [(1+x) y-1] d x+x(1+x) d y=0 [( 1 + x ) y − 1 ] d x + x ( 1 + x ) d y = 0 y ( 1 ) = ln 2 y(1)=\ln 2 y ( 1 ) = ln 2 y = y ( x ) y=y(x) y = y ( x ) f ( x ) = ∫ − 1 x y ( ∣ t ∣ ) d t f(x)=\int_{-1}^{x} y(|t|) d t f ( x ) = ∫ − 1 x y ( ∣ t ∣ ) d t f ′ ( 0 ) f'(0) f ′ ( 0 )
设 f ( x ) = lim n → ∞ x n ( e − x 2 n 2 + e − 4 x 2 n 2 + ⋯ + e − x 2 ) f(x)=\lim _{n \to \infty} \frac{x}{n}(e^{-\frac{x^2}{n^2}}+e^{-\frac{4 x^2}{n^2}}+\cdots+e^{-x^2}) f ( x ) = lim n → ∞ n x ( e − n 2 x 2 + e − n 2 4 x 2 + ⋯ + e − x 2 ) f ( x ) f(x) f ( x ) y = e x 2 f ( x ) y=e^{x^2} f(x) y = e x 2 f ( x )
设 f ( x ) = x 2 f(x)=x^2 f ( x ) = x 2 f [ φ ( x ) ] = − x 2 + 2 x + 3 f[\varphi(x)]=-x^2+2 x+3 f [ φ ( x )] = − x 2 + 2 x + 3 φ ( x ) ≥ 0 \varphi(x)\geq0 φ ( x ) ≥ 0 lim n → ∞ 1 n 3 ∑ i = 1 n i 2 ( n − i ) ⋅ 1 n + φ ( x ) = \lim _{n \to \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2(n-i) \cdot \frac{1}{n+\varphi(x)}= lim n → ∞ n 3 1 ∑ i = 1 n i 2 ( n − i ) ⋅ n + φ ( x ) 1 = 1 12 \frac{1}{12} 12 1 1 6 \frac{1}{6} 6 1 1 3 \frac{1}{3} 3 1 2 3 \frac{2}{3} 3 2