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第1章 函数极限与连续

基础部分​

  1. 函数 f(x)=x2tan⁡xecos⁡xf(x)=x^{2}\tan x e^{\cos x} 是（） A. 有界函数 B. 单调函数 C. 周期函数 D. 奇函数
  2. 设函数 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 内有定义，在区间 [0,2][0,2] 上，f(x)=x(x2−4)f(x)=x(x^{2}-4)，若对任意的 xx 都满足 f(x)=−12f(x+2)f(x)=-\frac{1}{2}f(x+2)，写出 f(x)f(x) 在 [−2,0)[-2,0) 上的表达式
  3. 设函数 f(x)={1−2x2,x<−1x3,−1≤x≤212x−16,x>2f(x)=\begin{cases}1-2x^{2},&x<-1\\x^{3},&-1\leq x\leq2\\12x-16,&x>2\end{cases}，写出 f(x)f(x) 的反函数 g(x)g(x) 的表达式
  4. 设函数 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上满足 f(x)=f(x−π)+sin⁡xf(x)=f(x-\pi)+\sin x，且 f(x)=xf(x)=x，x∈[0,π)x\in[0,\pi)，求 f(x)f(x) 在 [π,3π)[\pi,3\pi) 上的表达式
  5. 当 x→0x\to0 时，e−ecos⁡xe-e^{\cos x} 是 1+x23−1\sqrt[3]{1+x^{2}}-1 的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 同阶但非等价无穷小 D. 等价无穷小
  6. 下列选项中，极限存在的是（） A. lim⁡x→0sin⁡x∣x∣arctan⁡1∣x∣\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{|x|}\arctan\frac{1}{|x|} B. lim⁡x→0sin⁡xxarctan⁡1x\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\arctan\frac{1}{x} C. lim⁡x→0∣sin⁡x∣∣x∣arctan⁡1x\lim\limits_{x\to0}\frac{|\sin x|}{|x|}\arctan\frac{1}{x} D. lim⁡x→0∣sin⁡x∣xarctan⁡1x\lim\limits_{x\to0}\frac{|\sin x|}{x}\arctan\frac{1}{x}
  7. 设 x→0x\to0 时，ln⁡2+x2+sin⁡x\ln\frac{2+x}{2+\sin x} 与 xnx^{n} 为同阶无穷小，则 n=n=
  8. 设 lim⁡x→0sin⁡2x+xf(x)x3=1\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin2x+xf(x)}{x^{3}}=1，则 lim⁡x→02cos⁡x+f(x)x2=\lim\limits_{x\to0}\frac{2\cos x+f(x)}{x^{2}}=（） A. 00 B. −23-\frac{2}{3} C. 43\frac{4}{3} D. ∞\infty
  9. 设函数 f(x)f(x)，g(x)g(x) 在 x=0x=0 的某去心邻域内有定义且不为零，若当 x→0x\to0 时，f(x)f(x) 是 g(x)g(x) 的高阶无穷小，则当 x→0x\to0 时，对于以下结论： (1) f(x)+g(x)=o(f(x))f(x)+g(x)=o(f(x))； (2) f(x)g(x)=o(g2(x))f(x)g(x)=o(g^{2}(x))； (3) f(x)=o(ln⁡[1+g(x)])f(x)=o(\ln[1+g(x)])； (4) f(x)=o(g2(x))f(x)=o(g^{2}(x)) 正确结论的个数为（） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44
  10. lim⁡x→+∞x(21x−31x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x(2^{\frac{1}{x}}-3^{\frac{1}{x}})=
  11. lim⁡x→01+2x−1+3x3ln⁡(1+x2)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{\ln(1+x^{2})}=
  12. lim⁡x→0(arctan⁡xx)1tan⁡2x=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\arctan x}{x}\right)^{\frac{1}{\tan^{2}x}}=
  13. 已知 lim⁡x→−22x3+ax2−3x+6x+2=b\lim\limits_{x\to-2}\frac{2x^{3}+ax^{2}-3x+6}{x+2}=b，则 ab=ab=
  14. lim⁡x→01+tan⁡x−1+sin⁡xx2−xln⁡(1+x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^{2}-x\ln(1+x)}=
  15. lim⁡x→+∞ln⁡(1+2x)ln⁡(1+2x)=\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(1+2^{x})\ln(1+\frac{2}{x})=
  16. lim⁡x→∞(cos⁡1x+sin⁡1x)x2=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\cos\frac{1}{x}+\sin\frac{1}{x}\right)^{\frac{x}{2}}=
  17. f(x)=tan⁡x1+x2f(x)=\frac{\tan x}{1+x^{2}} 在 x=0x=0 处的3次泰勒多项式为
  18. 已知 lim⁡x→1f(x)\lim\limits_{x\to1}f(x) 存在，且 f(x)=x2+exlim⁡x→1f(x)f(x)=x^{2}+e^{x}\lim\limits_{x\to1}f(x)，则 f(x)=f(x)=
  19. 设 f(x)=ex+xexex−1−1xf(x)=\frac{e^{x}+xe^{x}}{e^{x}-1}-\frac{1}{x} 在 x=0x=0 处连续，则应补充 f(0)=f(0)=
  20. 设 f(x)=1−x⋅21−x(2−x)(1−x)(x≠1,2)f(x)=\frac{1-x\cdot2^{1-x}}{(2-x)(1-x)}(x\neq1,2)，若 f(x)f(x) 在 (1,2)(1,2) 上连续，则 f(1)f(2)=f(1)f(2)=
  21. 函数 f(x)=∣x∣x−1x(x+1)ln⁡∣x∣f(x)=\frac{|x|^{x}-1}{x(x+1)\ln|x|} 的可去间断点的个数为（） A. 00 B. 11 C. 22 D. 33
  22. 函数 f(x)=ln⁡∣1−x∣(ex−1)(x+2)f(x)=\frac{\ln|1-x|}{(e^{x}-1)(x+2)} 的第二类间断点的个数为（） A. 00 B. 11 C. 22 D. 33
  23. 设 f(x)=lim⁡t→+∞x+etx1+etxf(x)=\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{x+e^{tx}}{1+e^{tx}}，则 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的（） A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 振荡间断点 D. 无穷间断点

强化部分​

  1. lim⁡x→0(arcsin⁡xx)1sin⁡2x=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac{\arcsin x}{x}\right)^{\frac{1}{\sin^{2}x}}=
  2. lim⁡x→01x∫0x(1+sin⁡2t)1tdt=\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}\int_{0}^{x}(1+\sin2t)^{\frac{1}{t}}dt=
  3. lim⁡x→+∞(x2x−1)2ln⁡x=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^{\frac{2}{x}}-1\right)^{\frac{2}{\ln x}}=
  4. 计算 lim⁡x→0∫0x[e(t−x)2−1]sin⁡tdtx2(ex2−1)\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x}[e^{(t-x)^{2}}-1]\sin tdt}{x^{2}(e^{x^{2}}-1)}
  5. 设 lim⁡x→0[1+2x+3x2+f(x)x]1x=e5\lim\limits_{x\to0}\left[1+2x+3x^{2}+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=e^{5}，则 lim⁡x→0[1+f(x)x]1x=\lim\limits_{x\to0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}=
  6. 设函数 f(x)f(x) 在 x=3x=3 的某邻域内可微，且 lim⁡x→3f(x)=0\lim\limits_{x\to3}f(x)=0，lim⁡x→3f′(x)=4016\lim\limits_{x\to3}f'(x)=4016，求 lim⁡x→3∫3x[t∫t3f(s)ds]dt(3−x)3\lim\limits_{x\to3}\frac{\int_{3}^{x}[t\int_{t}^{3}f(s)ds]dt}{(3-x)^{3}}
  7. 设 f(x)f(x)，g(x)g(x) 在点 x=0x=0 的某邻域内连续，且当 x→0x\to0 时，f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 为等价无穷小，则当 x→0x\to0 时，∫0xf(t)(1−cos⁡t)dt\int_{0}^{x}f(t)(1-\cos t)dt 是 ∫0xt2g(t)dt\int_{0}^{x}t^{2}g(t)dt 的（） A. 等价无穷小 B. 同阶但非等价无穷小 C. 高阶无穷小 D. 低阶无穷小
  8. 设当 x→0x\to0 时，a∫0x2cos⁡t2dta\int_{0}^{x^{2}}\cos t^{2}dt 与 sin⁡x−bln⁡(1+x)\sin x-b\ln(1+x) 是等价无穷小，则 (a,b)=(a,b)=（） A. (1,2)(1,2) B. (−1,2)(-1,2) C. (12,1)(\frac{1}{2},1) D. (−12,1)(-\frac{1}{2},1)
  9. 设当 x→0x\to0 时，∫0x(etcos⁡t2−et)dt\int_{0}^{x}(e^{t\cos t^{2}}-e^{t})dt 与 axbax^{b} 是等价无穷小量，则 (a,b)=(a,b)=（） A. (−16,3)(-\frac{1}{6},3) B. (−124,4)(-\frac{1}{24},4) C. (−12,5)(-\frac{1}{2},5) D. (−112,6)(-\frac{1}{12},6)
  10. 已知 lim⁡x→3x3−3x2+bx2+x−3bx−3x+a=25\lim\limits_{x\to3}\frac{x^{3}-3x^{2}+bx^{2}+x-3bx-3}{x+a}=25，则 ab=ab=
  11. 设函数 f(x)f(x) 在 0<∣x∣<10<|x|<1 上有定义，且满足 lim⁡x→0[cos⁡x+f(x)x]1x2=e−1\lim\limits_{x\to0}\left[\cos x+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x^{2}}}=e^{-1}，求 lim⁡x→0f(x)sin⁡3x\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin^{3}x}
  12. 设函数 f(x)f(x) 在 x=0x=0 处连续，f(0)=12f(0)=\frac{1}{2}，且函数 g(x)={1xsin⁡x2x≠012x=0g(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}\sin\frac{x}{2}&x\neq0\\\frac{1}{2}&x=0\end{cases}，则 lim⁡x→0xf(x)+g(x)∫02xcos⁡t2dtxg(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{xf(x)+g(x)\int_{0}^{2x}\cos t^{2}dt}{xg(x)}=
  13. f(x)=lim⁡n→∞nx[(1+1n)n−e]f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}n^{x}[(1+\frac{1}{n})^{n}-e] 在 x=1x=1 处（） A. 左极限存在，右极限不存在 B. 左极限不存在，右极限存在 C. 左、右极限都存在，但不相等 D. 连续
  14. 计算 lim⁡x→+∞[xx+1(1+x)x−xe]\lim\limits_{x\to+\infty}\left[\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{e}\right]
  15. lim⁡x→0∣x∣x+21+x2−1=\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|^{x+2}}{\sqrt{1+x^{2}}-1}=
  16. 设 f(x)=x+∣x∣2f(x)=\frac{x+|x|}{2}，则 lim⁡x→0[f(1−x)f(1+x)]1x2=\lim\limits_{x\to0}[f(1-x)f(1+x)]^{\frac{1}{x^{2}}}=
  17. 设函数 f(x)f(x) 在 x=0x=0 的某邻域内有定义，且 lim⁡x→0x−f(x)ln⁡(1+x)=1\lim\limits_{x\to0}\frac{x-f(x)}{\ln(1+x)}=1，则以下叙述： (1) f(0)=0f(0)=0； (2) lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim\limits_{x\to0}f(x)=f(0)； (3) lim⁡x→0f(x)x=1\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=1 正确叙述的个数为（） A. 11 B. 22 C. 33 D. 44
  18. 函数 f(x)f(x) 在 x=0x=0 的某邻域内有定义，则 lim⁡x→0∣f(x)∣x\lim\limits_{x\to0}\frac{|f(x)|}{x} 存在是 lim⁡x→0f(x)x=0\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0 的（） A. 充分必要条件 B. 充分非必要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分又非必要条件
  19. 当 x→0x\to0 时，以下无穷小量阶数最高的是（） A. ∫0sin⁡x[(1+t)′−1]dt\int_{0}^{\sin x}[(1+t)'-1]dt B. ∫0sin⁡x2(1+t)1tdt\int_{0}^{\sin x^{2}}(1+t)^{\frac{1}{t}}dt C. ∫0sin⁡x[e−(1+t)1t]dt\int_{0}^{\sin x}[e-(1+t)^{\frac{1}{t}}]dt D. ∫0sin⁡2x(tet−t)dt\int_{0}^{\sin^{2}x}(te^{t}-t)dt
  20. 设函数 f(x)f(x) 在 x=0x=0 的某一邻域内可导，且 f(0)=0f(0)=0，f′(0)≠0f'(0)\neq0，求 lim⁡x→0∫0x2f(t)dtx2∫0xf(t)dt\lim\limits_{x\to0}\frac{\int_{0}^{x^{2}}f(t)dt}{x^{2}\int_{0}^{x}f(t)dt}
  21. 设 lim⁡x→+∞f(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty，lim⁡x→+∞g(x)=+∞\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty，且 lim⁡x→+∞f(x)g(x)=a>0\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=a>0，计算 lim⁡x→+∞ln⁡f(x)ln⁡g(x)\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln f(x)}{\ln g(x)}
  22. 若二次多项式 f(x)f(x) 在 x=0x=0 的某邻域内与 g(x)=sec⁡xg(x)=\sec x 的差为 x2x^{2} 的高阶无穷小，则 f(x)=f(x)=
  23. 当 n→∞n\to\infty 时，e−(1+1n)ne-(1+\frac{1}{n})^{n} 与 cnk\frac{c}{n^{k}} 为等价无穷小，则（） A. c=e3,k=2c=\frac{e}{3},k=2 B. c=e2,k=2c=\frac{e}{2},k=2 C. c=e3,k=1c=\frac{e}{3},k=1 D. c=e2,k=1c=\frac{e}{2},k=1
  24. 当 x→0x\to0 时，α(x)\alpha(x) 与 β(x)\beta(x) 是非零且不相等的等价无穷小量，以下4个结论： (1) α(x)+β(x)=2α(x)\alpha(x)+\beta(x)=2\alpha(x)； (2) α(x)+β(x)=2β(x)\alpha(x)+\beta(x)=2\beta(x)； (3) α(x)−β(x)=o(α(x))\alpha(x)-\beta(x)=o(\alpha(x))； (4) α(x)−β(x)=o(β(x))\alpha(x)-\beta(x)=o(\beta(x)) 所有正确结论的序号是（） A. ①③ B. ③④ C. ①②③④ D. ②④
  25. 当 x→0x\to0 时，(3+2tan⁡x)x−3x(3+2\tan x)^{x}-3^{x} 是 3sin⁡2x+x3cos⁡1x3\sin^{2}x+x^{3}\cos\frac{1}{x} 的（） A. 高阶无穷小 B. 低阶无穷小 C. 等价无穷小 D. 同阶但非等价无穷小
  26. 当 x→0x\to0 时，以下无穷小中，阶数最高的是（） A. ∫0sin⁡x(1+t)2tdt\int_{0}^{\sin x}(1+t)^{\frac{2}{t}}dt B. ∫0ln⁡(1+x2)cos⁡3tdt\int_{0}^{\ln(1+x^{2})}\sqrt{\cos^{3}t}dt C. ∫0x(ecos⁡t−esin⁡t)dt\int_{0}^{x}(e^{\cos t}-e^{\sin t})dt D. ∫0x−tan⁡xarctan⁡tdt\int_{0}^{x-\tan x}\arctan tdt
  27. 当 x→0x\to0 时，函数 f(x)=ax+bx2+ln⁡(1+x)f(x)=ax+bx^{2}+\ln(1+x) 与 g(x)=1−cos⁡xg(x)=1-\cos x 是等价无穷小，则 ab=ab=
  28. 当 x→0x\to0 时，f(x)=12ln⁡1+x1−x−arctan⁡xf(x)=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}-\arctan x 与 g(x)=axbg(x)=ax^{b} 是等价无穷小，则 ab=ab=
  29. 当 x→0x\to0 时，ln⁡(1+x)−tan⁡x\ln(1+x)-\tan x 与 axbax^{b} 是等价无穷小，则 (a,b)=(a,b)=（） A. (−12,2)(-\frac{1}{2},2) B. (12,2)(\frac{1}{2},2) C. (−13,3)(-\frac{1}{3},3) D. (13,3)(\frac{1}{3},3)
  30. 当 x→0x\to0 时，x−ln⁡(x+1+x2)∼axbx-\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})\sim ax^{b}，则 a,ba,b 的值分别是（） A. 16,3\frac{1}{6},3 B. 16,2\frac{1}{6},2 C. 13,2\frac{1}{3},2 D. 13,3\frac{1}{3},3
  31. 当 x→0x\to0 时，arcsin⁡x−x\arcsin x-x 与 axbax^{b} 是等价无穷小，则 (a,b)=(a,b)=（） A. (−16,2)(-\frac{1}{6},2) B. (16,2)(\frac{1}{6},2) C. (−16,3)(-\frac{1}{6},3) D. (16,3)(\frac{1}{6},3)
  32. 若 lim⁡x→0[a2+e1x1+e4x+(1+∣x∣)1x]\lim\limits_{x\to0}\left[a\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1+e^{\frac{4}{x}}}+(1+|x|)^{\frac{1}{x}}\right] 存在，求 aa 的值
  33. 设函数 f(x)=1+x1−xf(x)=\sqrt{\frac{1+x}{1-x}} 在 x=0x=0 处的2次泰勒多项式为 a+bx+cx2a+bx+cx^{2}，则（） A. a=1,b=1,c=1a=1,b=1,c=1 B. a=1,b=1,c=12a=1,b=1,c=\frac{1}{2} C. a=0,b=−1,c=12a=0,b=-1,c=\frac{1}{2} D. a=0,b=−1,c=1a=0,b=-1,c=1
  34. 设 f(x)f(x) 在 (0,+∞)(0,+\infty) 内可导，aa 为常数，对于以下结论： ①若 lim⁡x→+∞f′(x)=a\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=a，则 lim⁡x→+∞f(x)x=a\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a；②若 lim⁡x→+∞f(x)x=a\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a，则 lim⁡x→+∞f′(x)=a\lim\limits_{x\to+\infty}f'(x)=a 下列说法中正确的是（） A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①与②均正确 D. ①与②均错误
  35. f(x)=∣ln⁡∣x∣∣x2−1f(x)=\frac{|\ln|x||}{x^{2}-1} 有（） A. 两个跳跃间断点，一个无穷间断点 B. 两个可去间断点，一个无穷间断点 C. 一个可去间断点，一个跳跃间断点，一个无穷间断点 D. 三个无穷间断点
  36. 设 f(x)=x+1+x2x(x≠0)f(x)=x+\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}(x\neq0)，则 x=0x=0 是 f(x)f(x) 的（） A. 连续点 B. 跳跃间断点 C. 可去间断点 D. 第二类间断点
  37. 函数 f(x)=∣x−1∣1x(2−x)f(x)=|x-1|^{\frac{1}{x(2-x)}} 的第二类间断点的个数是（） A. 00 B. 11 C. 22 D. 33
  38. 设 f(x)=lim⁡n→∞xn+1+(cos⁡πx+1)sin⁡axxn+(cos⁡πx+1)f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{x^{n+1}+(\cos\pi x+1)\sin ax}{x^{n}+(\cos\pi x+1)}，为使 f(x)f(x) 对于一切 xx 都连续，求常数 aa 的最小正值