第5章 大数定律与中心极限定理

基础部分

1. 设总体$X$服从参数为2的指数分布，$X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$为来自总体$X$的简单随机样本，则$Y_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2$依概率收敛于_____。

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答案：

$$\frac{1}{2}.$$

解析：参数为$2$的指数分布满足

$$E(X)=\frac{1}{2},D(X)=\frac{1}{4}.$$

因此

$$E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

由于$X_1^2,X_2^2,\cdots$独立同分布且数学期望存在，由辛钦大数定律，

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2\stackrel{P}{\to }E(X^2)=\frac{1}{2}.$$

2. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$是来自总体$X$的简单随机样本，$X$服从$[-\pi ,\pi ]$上的均匀分布，记$Y_k=\cos (k{X}_k)$，$k=1,2,\cdots ,n,\cdots$，则$\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n{Y}_k^2$依概率收敛于_____。

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答案：

$$\frac{1}{2}.$$

解析：对任意正整数$k$，

$$\begin{array}{rl}E(Y_k^2)& =E[{\cos }^2(k{X}_k)]\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^2(kx)dx=\frac{1}{2}.\end{array}$$

又$0\le Y_k^2\le 1$，故各$Y_k^2$方差一致有界。由独立随机变量的大数定律，

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\left(Y_k^2-E{Y}_k^2\right)\stackrel{P}{\to }0.$$

而

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}E{Y}_k^2=\frac{1}{2},$$

所以

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{Y}_k^2\stackrel{P}{\to }\frac{1}{2}.$$

3. 设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$相互独立且均服从$U[1,4]$，$\Phi (x)$是标准正态分布的分布函数，则$\underset{n\to \infty }{\lim }P\{\frac{2{\sum }_{i=1}^n{X}_i-5n}{\sqrt{n}}\le x\}=$( ) A. $\Phi (x)$ B. $\Phi (\sqrt{3x})$ C. $\Phi (\frac{x}{\sqrt{3}})$ D. $\Phi (\frac{2x}{\sqrt{3}})$

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答案：C。

解析：因为$X_i\sim U[1,4]$，所以

$$E(X_i)=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2},D(X_i)=\frac{(4-1{)}^2}{12}=\frac{3}{4}.$$

于是

$$\frac{2{\sum }_{i=1}^n{X}_i-5n}{\sqrt{n}}=\frac{2\left({\sum }_{i=1}^n{X}_i-\frac{5}{2}n\right)}{\sqrt{n}}.$$

由中心极限定理，

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-\frac{5}{2}n}{\sqrt{\frac{3}{4}n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

因此题中随机变量的极限分布为$N(0,3)$，故

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{2{\sum }_{i=1}^n{X}_i-5n}{\sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right).$$

4. 设生产每件产品的时间服从指数分布，且平均时间为10分钟，生产各件产品的时间相互独立，由中心极限定理，在15小时至20小时之间生产100件产品的概率约为( ) A. $\Phi (2)-\Phi (1)$ B. $2\Phi (1)-\Phi (2)$ C. $\Phi (1)+\Phi (2)-1$ D. $2[\Phi (1)-\Phi (-2)]$

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答案：C。

解析：设生产第$i$件产品所需时间为$X_i$，则$X_i$独立同分布，且指数分布的均值和标准差均为10分钟，即

$$E(X_i)=10,D(X_i)=100.$$

生产100件产品的总时间

$$S_{100}=\sum _{i=1}^{100}{X}_i$$

满足

$$E(S_{100})=1000,\sqrt{D(S_{100})}=100.$$

15小时和20小时分别为900分钟和1200分钟，因此由中心极限定理，

$$\begin{array}{rl}P(900<S_{100}<1200)& \approx P\left(-1<\frac{S_{100}-1000}{100}<2\right)\\ & =\Phi (2)-\Phi (-1)\\ & =\Phi (2)+\Phi (1)-1.\end{array}$$

故选C。

5. 设有5个盒子，100个球，每个球等可能地放入任一盒子中，根据中心极限定理，指定的某一个盒子中不超过22个球的概率近似为( ) A. $1-\Phi (1)$ B. $\Phi (1)$ C. $1-\Phi (0.5)$ D. $\Phi (0.5)$

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答案：D。

解析：设指定盒子中的球数为$X$。每个球进入该盒子的概率为$\frac{1}{5}$，故

$$X\sim B\left(100,\frac{1}{5}\right).$$

于是

$$E(X)=20,D(X)=100\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5}=16.$$

由中心极限定理作正态近似，

$$\frac{X-20}{4}\approx N(0,1).$$

因此

$$P(X\le 22)\approx \Phi \left(\frac{22-20}{4}\right)=\Phi (0.5).$$

故选D。

6. 设随机变量$X_1,X_2,\cdots ,X_{2n},\cdots$相互独立，且均服从二项分布$B(1,\frac{1}{2})$，若根据中心极限定理，有$\underset{n\to \infty }{\lim }P\{a{\sum }_{i=1}^n(X_{2i}-X_{2i-1})\le \sqrt{n}x\}=\Phi (x)$，其中$\Phi (x)$为标准正态分布函数，则$a=$_____。

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答案：

$$\sqrt{2}.$$

解析：令

$$Z_i=X_{2i}-X_{2i-1}.$$

由于$X_j\sim B(1,\frac{1}{2})$且相互独立，

$$E(Z_i)=0,$$

且

$$D(Z_i)=D(X_{2i})+D(X_{2i-1})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

故

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{Z}_i}{\sqrt{n/2}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

题设要求

$$P\left\{a\sum _{i=1}^n{Z}_i\le \sqrt{n}x\right\}\to \Phi (x).$$

即需要

$$\frac{a{\sum }_{i=1}^n{Z}_i}{\sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

而其极限方差为$a^2/2$，所以

$$\frac{a^2}{2}=1.$$

按标准化系数取正值，得

$$a=\sqrt{2}.$$

7. 某保险公司接受了10000辆汽车的保险，每辆汽车每年的保费为1.2万元。若汽车丢失，则车主获得赔偿100万元。设汽车的丢失率为0.006，对于此项业务，利用中心极限定理，则保险公司一年所获利润不少于6000万元的概率为_____。

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答案：

$$\frac{1}{2}.$$

解析：设一年内丢失的汽车数为$X$，则

$$X\sim B(10000,0.006).$$

保险公司总保费收入为

$$10000\times 1.2=12000\text{万元},$$

赔付总额为$100X$万元，因此利润为

$$L=12000-100X.$$

要求$L\ge 6000$，即

$$X\le 60.$$

又

$$E(X)=10000\times 0.006=60,$$$$D(X)=10000\times 0.006\times 0.994=\mathrm{59.64.}$$

由中心极限定理，忽略连续性修正时，

$$P(X\le 60)\approx \Phi \left(\frac{60-60}{\sqrt{59.64}}\right)=\Phi (0)=\frac{1}{2}.$$

8. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n(n>2)$是来自总体$X\sim N(0,1)$的简单随机样本，由切比雪夫不等式得$P\{0<{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2<2n\}$不小于_____。

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答案：

$$1-\frac{2}{n}.$$

解析：令

$$S=\sum _{i=1}^n{X}_i^2.$$

因$X_i\sim N(0,1)$，有

$$E(X_i^2)=1,D(X_i^2)=E(X_i^4)-[E(X_i^2){]}^2=3-1=2.$$

故

$$E(S)=n,D(S)=2n.$$

又$S>0$几乎处处成立，因此

$$\{0<S<2n\}=\{|S-n|<n\}$$

除零概率事件外等价。由切比雪夫不等式，

$$P(|S-n|<n)\ge 1-\frac{D(S)}{n^2}=1-\frac{2n}{n^2}=1-\frac{2}{n}.$$

强化部分

1. 设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是来自总体$X\sim \left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ \frac{1}{16}& \frac{3}{8}& \frac{1}{16}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$的简单随机样本，若取值为2的样本个数$K$满足$\underset{n\to \infty }{\lim }P\{\frac{K-a}{b}\le x\}=\Phi (x)$，其中$\Phi (x)$为标准正态分布函数，则$a,b$分别是( ) A. $\frac{1}{16},\frac{\sqrt{15}}{16}$ B. $\frac{n}{16},\frac{\sqrt{15n}}{16}$ C. $\frac{1}{16},\frac{\sqrt{15n}}{16}$ D. $\frac{n}{16},\frac{\sqrt{15}}{16}$

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答案：B。

解析：每个样本取值为2的概率为

$$p=P(X=2)=\frac{1}{16}.$$

因此$n$个样本中取值为2的个数

$$K\sim B\left(n,\frac{1}{16}\right).$$

其均值与方差分别为

$$E(K)=\frac{n}{16},$$$$D(K)=n\cdot \frac{1}{16}\cdot \frac{15}{16}=\frac{15n}{256}.$$

故由棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理，

$$\frac{K-\frac{n}{16}}{\frac{\sqrt{15n}}{16}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

所以

$$a=\frac{n}{16},b=\frac{\sqrt{15n}}{16}.$$

2. 设$X\sim N(0,1)$，在$X=x$的条件下，总体$Y\sim N(x,1)$，记$Y_1,Y_2,\cdots ,Y_n,\cdots$为取自总体$Y$的简单随机样本，则$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i^2$依概率收敛于_____。

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答案：

$$1+X^2.$$

解析：在给定$X=x$的条件下，$Y_i$独立同分布于$N(x,1)$。因此

$$E(Y_i^2\mid X=x)=D(Y_i\mid X=x)+[E(Y_i\mid X=x){]}^2=1+x^2.$$

由条件下的辛钦大数定律，

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i^2\stackrel{P}{\to }1+x^2(X=x\text{给定}).$$

去掉条件记号后，极限写为随机变量

$$1+X^2.$$

3. 设总体$X$服从参数为1的泊松分布，$X_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots$为来自总体$X$的简单随机样本。记$v_n(1)$为$n$个观测值中不大于1的个数，则$\frac{v_n(1)}{n}$依概率收敛于( ) A. $\frac{1}{e}$ B. $\frac{2}{e}$ C. $1-\frac{1}{e}$ D. $1-\frac{2}{e}$

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答案：B。

解析：定义示性变量

$$I_i=I\{X_i\le 1\}.$$

则

$$v_n(1)=\sum _{i=1}^n{I}_i,$$

而$I_i$独立同分布，且

$$\begin{array}{rl}E(I_i)& =P(X_i\le 1)\\ & =P(X_i=0)+P(X_i=1)\\ & =e^{-1}+e^{-1}=\frac{2}{e}.\end{array}$$

由辛钦大数定律，

$$\frac{v_n(1)}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{I}_i\stackrel{P}{\to }\frac{2}{e}.$$

故选B。

4. 设$t(\ge 0)$时刻已进入某商场的顾客人数是$N_t$，$N$服从参数为$\frac{t}{2}$的泊松分布，令$T$表示第1个顾客到来的时刻。 (1) 求$T$的概率密度； (2) 当$T_1,T_2,\cdots ,T_n,\cdots$独立同分布于总体$T$时，$\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{T}_i^2$在$n\to \infty$的条件下依概率收敛于$a$，求$a$的值。

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答案：

(1)

$$f_T(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^{-t/2},& t>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

(2)

$$a=8.$$

解析：

(1) 对$t\ge 0$，事件$\{T>t\}$表示在时刻$t$之前没有顾客到达，即$N_t=0$。因此

$$P(T>t)=P(N_t=0)=e^{-t/2}.$$

所以

$$F_T(t)=P(T\le t)=1-e^{-t/2},t\ge 0.$$

求导得

$$f_T(t)=\frac{1}{2}{e}^{-t/2},t>0.$$

故$T$服从参数为$\frac{1}{2}$的指数分布。

(2) 对参数为$\lambda =\frac{1}{2}$的指数分布，

$$E(T)=\frac{1}{\lambda }=2,D(T)=\frac{1}{{\lambda }^2}=4.$$

于是

$$E(T^2)=D(T)+[E(T){]}^2=4+4=8.$$

由于$T_1^2,T_2^2,\cdots$独立同分布且数学期望存在，由辛钦大数定律，

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{T}_i^2\stackrel{P}{\to }E(T^2)=8.$$

因此

$$a=8.$$